Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

JFM 25.0131.01

Borel, E.; Drach, J. Introduction à l’étude de la théorie des nombres et de l’algèbre supérieure. D’après des conférences faites à l’École Normale Supérieure par J. Tannery. Paris. Nony et Cie. IX + 350 S. 8^{∘}.

URL: http://resolver.library.cornell.edu/math/1884517

Das Werk ist ein klar und einfach geschriebenes Lehrbuch für die Anfangsgründe der Zahlenlehre und höheren Gleichungstheorie; es zerfällt in 2 Teile. Der erste, von Hrn. Borel ausgearbeitete, zahlentheoretische Teil behandelt in 5 Capiteln: die allgemeinen Eigenschaften der Congruenzen, die Congruenzen nach einem Primzahlmodul, die binomischen Congruenzen, das Reciprocitätsgesetz für quadratische Reste, die Zerlegung der Zahlen in Quadrate. Der zweite, von Hrn. Drach ausgearbeitete, algebraische Teil behandelt in 7 Capiteln die elementaren Eigenschaften der rationalen Zahlen und Polynome, die symmetrischen Functionen und den Begriff der Reducibilität, die Begriffe Resultante und Determinante, die Galois’sche Resolvente und den Begriff der Gruppe einer Gleichung, die auflösbaren Gruppen und endlich die Galois’schen und Abel’schen Gleichungen.

Hilbert, Prof. (Göttingen) Published: 1894 Document Type: B

JFM 26.0409.01

Drach, J. Sur l’application aux équations différentielles de méthodes analogues à celles de Galois. C.R. CXX. 73-76.

Der Verfasser führt eine Klasse von Problemen der Integration von Differentialgleichungen an, auf welche die Methode der “logischen Integration” anwendbar ist. Sie sind besondere Fälle des folgenden Problems: φ_{1}, ..., φ_{n} seien Functionen von x, x_{1}, ..., x_{n}, p_{1}, ..., p_{n} (p_{k} = \frac{∂x}{∂x_{k}} ) und von der Eigenschaft, dass (φ_{i}, φ_{k}) = w_{ik}(φ_{1}, …, φ_{n}), wo die w_{ik} den Bedingungen der Integrabilität genügen; φ_{1}, ..., φ_{q} sind als Functionen der x und p gegeben; man verlangt, φ_{q+1}, ..., φ_{n} zu bestimmen. Wie angedeutet wird, nimmt die Methode zum Ausgangspunkte verschiedene Typen der Lie’schen Punktund Berührungstransformationen, die auf alle mögliche Weisen erweitert werden. Jeder Fortschritt in der Lösung des fraglichen Problems wird durch eine Gruppe definirt, deren Differentialinvarianten man explicite kennt.

Hamburger, Prof. (Berlin) Published: (1895) Document Type: J Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

JFM 28.0309.02

Drach, J. Sur une classe d’équations linéaires aux dérivées partielles. Darboux Bull. (2) 21, 140-152.

Von Darboux ist gezeigt worden, welche wichtige Rolle die Gleichungen \frac{∂^{2}z}{∂x∂y} + a\frac{∂z}{∂x} + b\frac{∂z}{∂y} + cz = 0, von denen p particuläre Lösungen durch eine quadratische Relation z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + ⋯ + z_{p}^{2} = 0 verbunden sind, in der Geometrie spielen. Verfasser leitet mehrere Eigenschaften dieser Gleichungen ab und zeigt vor allen Dingen, wie man im allgemeinen von einer solchen Gleichung zu einer entsprechenden Gleichung gelangen kann, für welche p + 2 Lösungen durch eine quadratische Relation verknüpft sind.

Schafheitlin, Dr. (Charlottenburg) Published: (1897) Document Type: J

JFM 28.0587.01

Drach, J. Sur les systèmes complètement orthogonaux dans l’espace à n dimensions et sur la réduction des systèmes différentiels les plus généraux. C. R. 125, 598-601.

Gedrängte Mitteilungen über Untersuchungen betreffend die \frac{1}{2}n(n − 1)-fachen Orthogonalsysteme der n-fachen Mannigfaltigkeit. Betrachtet man im Raume von n Dimensionen die einem Orthogonalsystem von n Ebenensystemen benachbarten Systeme, so hängt ihre Bestimmung ab von \frac{1}{2}n(n − 1) willkürlichen Functionen zweier Variabeln und von n Functionen einer Variable.

Rothe, Dr. (Charlottenburg) Published: (1897) Document Type: J

JFM 29.0244.02

Drach, J. Essai sur une théorie générale de l’intégration et sur la classification des transcendantes. Paris. 150 S. 4^{∘}. (Bericht in Abschnitt VII, Kap. 1.)

Published: (1898)

JFM 29.0349.06

Drach, J.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

Essai sur la théorie générale de l’itération et sur la classification des transcendantes. Ann. de l’École Norm. (3) 15, 243-384; auch sep. Thèse. Paris: Gauthier-Villars et Fils. 150 S. 4^{∘}.

Die weitschichtige Abhandlung bemüht sich, den Gedanken von E. Galois zu verwirklichen, der in den Schlusszeilen des berühmten Briefes an A. Chevalier ausgesprochen ist: “Il s’agissait dc voir a priori, dans une relation entre des quantités ou fonctions transcendantes, quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait substituer aux quantités données, sans que la relation pût cesser d’avoir lieu. Cela fait reconnaître de suite l’impossibilité de beaucoup d’expressions que l’on pourrait chercher. Mais je n’ai pas le temps, et mes idées ne sont pas encore bien développées sur ce terrain qui est immense.” Wie die Theorie von Galois Mittel an die Hand giebt, um alle zwischen den Wurzeln eines Systemes von Gleichungen bestehenden rationalen Beziehungen aufzustellen, so sollen auch in der Theorie der Differentialgleichungen Methoden ausfindig gemacht werden, um alle zwischen den Lösungen des Differentialgleichungssystemes und ihren Ableitungen bestehenden algebraischen Beziehungen aufzustellen und zu beherrschen. Demgemäss giebt der erste Teil der in drei Abschnitte zerfallenden Abhandlung eine Darstellung der Theorie von Galois, wobei der Verf. merkwürdiger Weise bis auf die Elemente zurückgeht. Der zweite Teil setzt die Begriffe der vollständig integrablen Systeme und der logischen Integration auseinander. Ein System von Differentialgleichungen wird vollständig integrabel genannt, wenn die sämtlichen Gleichungen mit einander verträglich sind und zur Aufstellung aller zwischen den Lösungen und ihren Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung hin bestehenden algebraischen Beziehungen ausreichen. Unter logischer Integration versteht der Verf. die Zurückführung eines gegebenen Differentialgleichungssystemes auf ein vollständig integrables und irreducibles System. Im dritten Teile überträgt sodann der Verf. die Methoden der Galois’schen Substitutionentheorie auf die Lehre von den linearen homogenen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Bilden z_{1}, z_{2}, ..., z_{n} ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung

\frac{∂z}{∂x} + A_{1} \frac{∂z}{∂x_{1}} + ⋯ + A_{n} \frac{∂z}{∂x_{n}} = 0,

so besteht zwischen diesem und einem anderen Fundamentalsystem irgend eine Substitution der allgemeinen Gruppe Γ_{n} aller Punkttransformationen. Besteht aber überdies zwischen z_{1}, z_{2}, ..., z_{n} eine algebraische Beziehung, so dürfen alsdann nur solche Substitutionen einer Untergruppe Γ angewandt werden, welche jene algebraische Gleichung intact lassen. Man gelangt so zum Begriff der Rationalitätsgruppe, welche die folgenden Eigenschaften besitzt: Alle rationalen Differentialinvarianten von Γ drücken sich, wenn man z_{1}, z_{2}, ..., z_{n} als Functionen von x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} betrachtet, rational durch die x aus; jede Function der z, welche sich rational durch die x ausdrückt, ist eine Function der Differentialinvarianten. Durch successive Adjunction von Transcendenten kann man, analog wie in der Theorie von Galois, die Rationalitätsgruppe Γ auf einfache, d. h. auf solche Gruppen zurückführen, welche keine invariante Untergruppe besitzen.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

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Die Ausführungen des Verfassers sind durchweg ganz allgemein gehalten, und eine Darlegung der Anwendbarkeit der eingeführten Begriffsbildungen auf wirklich interessante Einzelprobleme wäre sehr wünschenswert.

Landsberg, Prof. (Heidelberg) Published: (1898)

JFM 32.0362.02

Drach, J. Sur les intégrales complètes des équations aux dérivées partielles du second ordre. Congrès intern. des math. (Paris 1900) 281-289.

Es handelt sich um partielle Differentialgleichungen mit einer unbekannten Funktion und zwei unabhängigen Veränderlichen. Die Methoden von Monge, Ampère und Darboux erschöpfen theoretisch das, was man im allgemeinen über die Untersuchung der Lösungen sagen kann, welche von willkürlichen Funktionen oder von einer unendlichen Anzahl willkürlicher Konstanten abhängen. Verf. will in der vorliegenden Arbeit einen Beitrag zum Studium derjenigen Lösungen geben, die nur von einer begrenzten Anzahl willkürlicher Konstanten, insbesondere von drei und fünf Konstanten abhängen. J. König hat (Math. Ann. 24, 465, 1884) die Bestimmung der letzteren (der vollständigen Integrale) auf die Integration einer linearen Gleichung zweiter Ordnung mit sieben unabhängigen Veränderlichen und auf weitere Integrationen vollständiger Systeme zurückgeführt. Verf. zeigt, daß man die Königsche Gleichung (welche vollständig bestimmt ist) durch eine (nicht lineare) Gleichung zweiter Ordnung mit sieben Veränderlichen ersetzen kann, deren Form variieren kann, und die fünf unbekannte Funktionen enthält; jede weitere Integration kann man vermeiden. Das Problem ist daher darauf zurückgeführt, ein System von fünf Funktionen sieben Veränderlicher zu finden, welche durch eine Gleichung zweiter Ordnung mit einander verbunden sind.

Wallenberg, Dr. (Charlottenburg) Published: 1902 Document Type: J

JFM 34.0666.01

Drach, Jules. Sur certaines déformations remarquables. C. R. 136, 996-998.

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Bestimmung derjenigen Flächen, welche sich stetig so biegen lassen, daß eine Kurvenfamilie, deren sphärisches Bild die geradlinigen (imaginären) Erzeugenden der Kugel sind, diese Eigenschaft während der Deformation beibehält.

Rothe, Dr. (Charlottenburg) Published: (1903)

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

Document Type: J

JFM 35.0613.01

Drach, J. Sur une forme nouvelle, linéaire, de l’équation dont dépend la détermination des surfaces qui ont un élément linéaire donné. Darb. Bull. (2) 28, 117-127.

Die Bestimmung aller Flächen mit gegebenem Linienelement hängt bekanntlich von der Integration einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung ab. Die Aufstellung einer solchen Differentialgleichung kann auf mannigfache Weise geschehen. Der Verf. geht hierbei aus von dem System von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung, welche die Translationen und Rotationen eines beweglichen Dreikants definieren, das in der nach dem Vorgange von Darboux üblichen Weise mit einem Flächenpunkt verbunden gedacht wird. Durch eine geeignete Elimination können diese sechs Gleichungen auf zwei simultane Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Unbekannten reduziert werden. Ihre Integration wird im allgemeinen die Integration einer Differentialgleichung von höherer als zweiter Ordnung erfordern. Nun hat Darboux (Théorie générale des surfaces, t. I. liv. I. chap. VI) gezeigt, daß die Bestimmung der Rotationen allein äquivalent ist der Integration zweier simultanen Riccatischen Differentialgleichungen. Der Verf. führt die abhängige Veränderliche dieser Riccatischen Gleichungen als Unbekannte ein und stellt für sie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung auf, welche in bezug auf die zweiten Ableitungen linear ist. Diese Gleichung kann also als Differentialgleichung des Deformationsproblems bezeichnet werden. Es wird gezeigt, daß nach ihrer Integration die kartesischen Koordinaten allein durch Quadraturen bestimmt sind. Bemerkungen über die Realitätsbedingungen der Flächen mit gegebenem reellen Linienelement

ds = \sqrt{Edu^{2} + 2F dudv + Gdv^{2}},

worin EG − F^{2} > 0, beschließen die Arbeit.

Rothe, Dr. (Charlottenburg) Published: (1904) Document Type: J

JFM 39.0688.02

Drach, J. Recherches sur certaines déformations remarquables à réseau conjugué persistant. Toulouse Ann. (2) 10, 125-164.

Die Arbeit zerfällt in zwei Teile. Der erste beschäftigt sich mit der Bestimmung aller Flächen, die sich stetig derart verbiegen lassen, daß eine Schar von Kurven, deren Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

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sphärisches Bild die isotropen Erzeugenden der Kugel sind; diese Eigenschaft während der Deformation beibehält. Der Verf. gibt die Lösung dieser Aufgabe in folgender Form: Es seien T und Σ beliebig gegebene Funktionen von β, k ein willkürlicher Parameter und R die allgemeine Lösung der Riccati schen Difterentialgleichung:

R′ + \frac{1}{2}R^{2} = −\frac{1}{2} (\frac{T}{Σ + k} + \frac{3}{4} \frac{Σ′^{2}}{(Σ + k)^{2}} );

man setze

ϱ = e^{∫ Rdβ}, u = \frac{1}{2} ∫ e^{− ∫ Rdβ}dβ,

A_{1} = ϱ(1 − u^{2}), A_{2} = iq(1 + u^{2}), A_{3} = 2qu,

dann sind die Größen

c_{i} = \sqrt{Σ + k} · (\frac{−2α}{1 + αβ} \frac{A_{i}}{\sqrt{Σ + k}} + (\frac{A_{1}}{\sqrt{Σ + k}} )′ )

für i = 1, 2, 3 die Richtungskosinus der Normale, und ist

p = \sqrt{Σ + k} (2\frac{βφ(α) + αψ(β)}{1 + αβ} − φ′(α) − ψ′(β))

die Entfernung des Koordinatenanfangspunktes von der Taugentialebene der gesuchten Fläche, auf der (α, β) ein konjugiertes Netz bedeutet. Es werden ferner die Bedingungen angegeben, unter denen die Flächen der betrachteten Klasse aufeinander abwickelbar sind. Der zweite Teil beschäftigt sich im Anschluß an die vorhergehenden Untersuchungen mit speziellen Lösungen der partiellen Differentialgleichung

\frac{∂^{2}ω}{∂α∂β} = \frac{−2ω}{(1 + αβ)^{2}} .

Re. Published: (1908) Document Type: J

JFM 39.0689.01

Drach, J. Sur les systèmes complètement orthogonaux de l’espace euclidien à n dimensions. S. M. F. Bull. 36, 85-126.

Die vollständig orthogonalen Systeme eines enklidischen Raumes von n Dimensionen werden durch die Differentialgleichungen

(i, k) = ∑_{i,k} \frac{∂y_{λ}}{∂x_{i}} \frac{∂y_{λ}}{∂x_{k}} = 0 ( \begin{matrix}i, k = 1, 2, ⋯, n \\ i ≶ k \end{matrix} )

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

definiert, deren algemeinste Auflösung in der vorliegenden Arbeit behandelt wird. Im ersten Teil werden zwei Methoden angegeben, die allgemeinste Lösung des Gleichungssystems zu finden. Im zweiten Teil werden umgekehrt die verschiedenen Gruppen von Gleichungen studiert, die bei der Aufgabe auftreten: welches sind die Bedingungen, unter denen eine Relation u = f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = const: eine Flächenfamilie des ndimensionalen Raumes definiert, die einem vollständigen Orthogonalsystem angehört?

Re. Published: (1908) Document Type: J

JFM 39.0689.02

Drach, J. Sur les lignes géodésiques. C. R. 147, 1267-1269.

Der Verf. untersucht nach der von Darboux ( Leçons sur la thëorie générale des surfaces, Nr. 619 ff.) vorgeschlagenen Methoden einige Partikularintegrale der Differentialgleichung der geodätischen Linien. Eine ausführliche Veröffentlichung ist in Aussicht gestellt.

Re. Published: (1908) Document Type: J

JFM 42.0663.02

Drach, J. Détermination des lignes asymptotiques des surfaces générales du troisième degré. C. R. 152, 1458-1461.

Innerhalb eines gewissen Rationalitätsbereichs gibt es für die Gleichung der Asymptotenlinien der Flächen dritter Ordnung einen Multiplikator, dessen Kubus eine rationale Funktion ist. Geht man in geeigneter Weise von Linienkoordinaten zu sphärischen Koordinaten über, so erhält man Sätze über Krümmungslinien, auf die der Verfasser zurückzukommen verspricht. Insbesondere bestehen Analogien zwischen den Krümmungslinien der Wellenfläche (vgl. S. 668) und den Asymptotenlinien der Flächen dritter Ordnung.

Z. Published: (1911) Document Type: J

JFM 42.0668.01

Drach, J.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

Dérmination des lignes de courbure de la surface des ondes de Fresnel. C. R. 152, 1144-1147.

Integration der Gleichung der Krümmungslinien durch Quadraturen; Verknüpfung mit einer Fläche neunter Ordnung. Eine ausführliche Arbeit wird in Aussicht gestellt.

Z. Published: (1911) Document Type: J

JFM 44.0366.01

Drach, J. Sur l’intégration logique des équations différentielles ordinaires. (FR) Proc. 5. Intern. Math.-Kongr. 1, 438-497 (1913).

Published: 1913 Document Type: CA

JFM 44.0367.01

Drach, J. Sur les équations différentielles de la géométrie. (FR) Proc. 5. Intern. Math. Congr. 2, 145-159 (1913).

Published: 1913 Document Type: CA

JFM 45.0476.01

Drach, J. Sur les équations différentielles du premier ordre et du premier degré. C. R. 158, 926-929 (1914).

Verf. zeigt an dem einfachen Beispiel der Differentialgleichung (1) \frac{dy}{dx} = \frac{α(y)}{β(x)}, worin α und β Polynome in y bedeuten, deren Koeffizienten willkürliche Funktionen von x sind, wie die von ihm aufgestellte Rationalitätstheorie sich auf Differentialgleichungen anwenden läßt, die von willkürlichen Funktionen abhängen. Sie ergibt durch Betrachtung der Invarianten der kanonischen Form ein Mittel, methodisch nach und nach alle Gleichungen (1) zu bilden, welche durch Quadraturen integrierbar sind. Insbesondere untersucht Verf. eingehend den einfachsten Fall der in zahlreichen Arbeiten von Euler, Abel, Z. Elliot, R. Liouville, Appell, Darboux u. a. behandelten Differentialgleichungen (2) \frac{dy}{dx} = \frac{P_{3}(y)}{P_{1}(y)} (P_{3} u. _{1} Polynome vom dritten bzw. ersten Grade), indem er von der

kanonischen Form Abels \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{φ(x)}{y} mit der Partikularlösung y = ∞ sowie von der Appells \frac{dy}{dx} = y^{3} + Φ(x) ausgeht. Für eine andere wichtige kanonische Form Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

\frac{dy}{dx} = \frac{y(y − 1)(x − λ)}{x(x − 1)(y − λ)} (λ Funktion von x)

mit den Lösungen 0, 1, ∞, x führen die ersten Reduktionsfälle (Rationalität einer gewissen Invariante) für λ zu den von R. Fuchs aufgestellten Differentialgleichungen, welche die von Painlevé entdeckten eindeutigen Transzendenten definieren. Die Differentialgleichungen (2) spielen eine wichtige Rolle in der Geometrie; auch die Fundamentalgleichung der äußeren Ballistik gehört dazu: sie lautet \frac{dy}{dx} = \frac{1−y^{2}}{x[y+φ(x)]}. - Die Betrachtungen des Verf. gelten auch für vollständige Systeme.

Wbg. Published: 1914 Document Type: J

JFM 45.1296.03

Drach, J. Sur le groupe de rationalité des équations du second ordre de M. Painlevé. Darboux. Bull. (2) 39, 149-l66 (1915).

Es handelt sich um die Painlevé sche Differentialgleichung

(^{∗}) y′′ = 6y^{2} + αx + β,

deren allgemeines Integral wie bekannt eine meromorphe Funktion von x ist. Durch Stadium der Rationalitätsgruppe von (^{∗}) gelangt der Verf. zu einem neuen Beweis dafür, daßdie obige Differentialgleichung wirklich neue Transzendenten definiert.

Cmn. Published: 1915 Document Type: J

JFM 46.0679.01

Drach, J. Sur les groupes complexes de rationalité et sur l’intégration par quadratures. (FR) C. R. 167, 743-746 (1918).

Published: 1918 Document Type: J

JFM 47.0411.03

Drach, J. Détermination des cas de réduction de l’équation differentielle \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = [φ(x) + h]y.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

C. R. 168. 47-50 (1919).

Published: 1919 Document Type: J

JFM 47.0412.01

Drach, J. Sur l’intégration par quadratures de l’équation

\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = [φ(x) + h]y.

Ebenda, 337-340.

Verf. beschäftigt sich mit denjenigen Gleichungen von der Form

y′′ = (φ(x) + h)y,

unter h einen beliebigen Parameter verstanden, bei welchen in der Rationalitätsgruppe eine Reduktion eintritt. Der interessanteste Fall ist der, wo die Rasolvente

ϱ′ + ϱ^{2} = φ + h,

folglich auch die ursprüngliche Gleichung, durch Quadraturen lösbar ist. Verf. bestimmt sämtliche Funktionen φ(x) von dieser Art.

Sz. Published: (1920) Document Type: J

JFM 47.0412.02

Drach, J. Sur les solutions algébriques des équations différentielles du premier ordre. C. R.168, 212-215 (1919).

Es seien X und Y Polynome von x und y. Verf. sucht notwendige Bedingungen, damit die Gleichung

Xdy − Y dx = 0

eine algebraische Partikularlösung besitzt.

Sz. Published: 1919 Document Type: J Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

JFM 47.0412.03

Drach, J. Sur l’intégration, par quadratures, de l’équation

\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = F (x, y).

C. R.168, 497-501 (1919).

Published: 1919 Document Type: J

JFM 47.0412.04

Drach, J. Détermination des intégrales premières de l’équation différentielle des lignes géodésiques, rationnelles, par rapport à la dérivée première de la fonction inconnue. 1919C. R. 169, 1155-1168 (1919).

Verf. sucht sämtliche Funktionen F (x, y) zu bestimmen, für welche die Gleichung

\frac{∂f}{∂x} + \frac{∂f}{∂y} y′ + \frac{∂f}{∂y′} F (x, y) = 0

eine Lösung f(x, y, y′) besitzt, die in y′ rational ist. In der zweiten Note wendet er die in der ersten zur Ermittlung eines in y′ rationalen ersten Integrals angegebene Methode auf die Differentialgleichung der geodätischen Linien an. Diese wird in der symmetrischen Form

v′′ = \frac{1}{λ} \frac{∂λ}{∂u}v′ − \frac{1}{λ} \frac{∂λ}{∂v}v′^{2}

geschrieben. (V 6 C.)

Sz. Published: 1919 Document Type: J

JFM 47.0725.01

Drach, J. L’équation différentielle de la balistique extérieure et son intégration par quadratures. Ann. de l’Éc. Norm. (3) 37, 1-94 (1920).

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

Es handelt sich um eine rein theoretische Studie über die Differentialgleichung

\frac{dv}{du} = \frac{1 − v^{2}}{v + ϱ} ,

in welche die Differentialgleichung des ballistischen Problems unter bekannten vereinfachenden Annahmen übergeführt werden kann: u ist der Logarithmus der Geschwindigkeit, ϱ eine bloße Funktion von u, im wesentlichen der Widerstand, v der Sinus des Steigungswinkels. In diese Form lassen sich alle Differentialgleichungen vom Typus \frac{dy}{dx} = \frac{P_{3}(y)}{P_{1}(y)} überführen, von denen drei partikuläre Integrale bekannt sind (hier v = ±1, v = ∞). Das Ziel ist die Aufzählung aller integrablen Fälle: das jeweils zugehörige ϱ(u) kann durch eine endliche Anzahl von Operationen definiert werden, die im allgemeinen Fall geschlossene Integrale in der komplexen Zahlenebene sind. Die bekannten integrablen Fälle ordnen sich natürlich unter. (IV 9.)

G. H. Published: 1920 Document Type: J

JFM 47.0987.02

Drach, J. Sur le mouvement de l’axe d’un solide homogène pesant de révolution qui a un point fixe sur cet axe. C. R. 170, 1156-1159 (1919).

Die Diskussion des betrachteten speziellen (Lagrangeschen) Falles läßt sich besonders einfach durchführen, wenn man die nur formal wichtige größte Wurzel (> 1) des bekannten Fundamentalmentalpolynoms der auftretenden elliptischen Funktionen durch die beiden anderen Wurzeln u_{1}, u_{2} und eine für die Bewegung sich ebenfalls als charakteristisch erweisende dritte Konstante u_{0} ausdrückt; u_{0} entspricht den Punkten stationären Azimuts.

Mz. Published: 1919 Document Type: J

JFM 48.0509.03

Drach, J. Sur la determination des equations differentielles du second ordre integrables par quadratures. (FR) C. R. 174, 797-799 (1922).

Published: 1922 Document Type: J Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

JFM 48.0509.04

Drach, J. Sur quelques applications de l’integration logique des equations differentielles. (FR) Comptes rendus du congres internat. des math. 1920, 356-380 (1920).

Published: 1920 Document Type: CA

JFM 49.0525.01

Drach, J. Sur des classes remarquables de congruences W. (FR) C. R. 176, 1591-1594 (1923).

Published: 1923 Document Type: J

JFM 50.0470.02

Drach, J. Sur l’habillage et sur la deformation des surfaces. C. R. 179, 1023-1026 (1924).

Es gibt eine Klasse von Flächen, für die das Bekleidungsproblem (Tschebytscheffsches Problem) identisch ist mit dem Verbiegungsproblem einer anderen Klasse von Flächen. Die Bestimmung dieser beiden Klassen von Flächen, bzw. ihres Linienelements, wird durchgeführt. Speziell entspricht dem Verbiegungsproblem der Flächen zweiter Ordnung das Bekleidungsproblem gewisser Flächen, deren Linienelement aufgestellt wird.

Ly. Published: 1924 Document Type: J

JFM 50.0475.01

Drach, J. Sur deux classes remarquables de congruences W. S. M. F. Bull. 52, 434-467. (1924).

Zwei Klassen von W -Kongruenzen sind Gegenstand der umfangreichen Abhandlung, von der hier zunächst der erste Teil vorliegt: 1. die Kongruenzen W R, die gleichzeitig W -Kongruenzen und Ribaucoursche Kongruenzen sind, 2. die W -Kongruenzen, deren Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

Mittelfläche eine Ebene ist. Eine vorläufige Mitteilung erschien im 176. Band der Comptes Rendus (1923). Mit der erstgenannten Klasse von W -Kongruenzen hat sich Vaulot in seiner Dissertation von 1923 (Congruences rectilignes qui sont en meme temps W et de Ribaucour, abgedruckt im Journ. de l’Éc. Pol.) beschäftigt. Bei einer W -Kongruenz entsprechen sich bekanntlich die Asymptotenlinien auf den beiden Brennflächenmänteln. Die Strahlen einer Ribaucourschen Kongruenz sind parallel zu den Normalen einer Fläche, die der Ausgangsfläche mit Orthogonalität der korrespondierenden Linienelemente zugeordnet ist; charakteristisch ist auch die Bedingung, daß die Developpablen die Mittelfläche in einem konjugierten System schneiden. Die Bestimmung einer die Eigenschaften beider Arten vereinigenden Kongruenz W R läßt sich, wie bereits Vaulot gezeigt hat, auf das folgende Paar von Differentialgleichungen zurückführen:

(1) ξ_{uv} = Mξ, (2) ξ_{uu} = ωξ_{vv} + σξ,

das, wenn gewisse Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, drei linear-unabhängige Lösungen ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3} besitzt. Man kann auch von der Moutardschen Gleichung (1) ausgehen und (2) durch die Bedingung ersetzen, daß die Determinante

Δ =| ξ_{1}, \frac{∂ξ_{1}}{∂u} , \frac{∂ξ_{1}}{∂v} |

ebenfalls ein Integral von (1) sein soll. Der Verf. behandelt nun die besonderen Lösungen, die sich Der Verf. behandelt nun die besonderen Lösungen, die sich auf Grund der Forderung ergeben, daß vier linearunabhängige Integrale der Differentialgleichungen (1), (2) existieren. Die Gleichung (2) nimmt dann die Form

Uξ_{uu} + V ξ_{vv} = Nξ

an, wobei U und V Funktionen von u bzw. von v allein sind. Zwei Fälle bieten sich dar. Sind V und V Konstanten, so gelangt man zur allgemeinen Differentialgleichung (Darboux, Leo̧ns sur la théorie gén. des surf. 2, Chap. IX). Sind die genannten Größen nicht konstant, so führt die Aufgabe auf das von Koenigs behandelte Problem: Auffindung der ds^{2} vom Rotationsflächentypus, die auf die Liouvillesche Form gebracht werden können (Note II am Schluß von Bd. 4 des Darbouxschen Werkes). Die Erledigung einer Reihe von Einzelfragen knüpft sich an jeden der beiden Fälle.

Jo. Published: 1924 Document Type: J

JFM 50.0531.02

Drach, J. Sur le mouvement d’un solide pesant qui a un point fixe. (Détermination du groupe de rationalité de l’équation différentielle du problème). C. R. 179, 735-737 (1924).

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

Verf. eliminiert bei dem allgemeinen Problem der Bewegung eines schweren starrer Körpers um einen festen Punkt mit Hilfe der drei bekannten Integrale die Koordinaten des Schwerpunktes und untersucht die Rationalitätsgruppe die bleibenden Differentialgleichungen für p, q, r. Durch Betrachtung geeigneter Spezial- und Ausartungsfälle, von denen einer auf eine Gaußsche Differentialgleichung führt, weist er nach, daß die Gruppe primitiv und die unendliche Gruppe ist, die durch \frac{∂(Φ,ψ)}{∂(φ,ψ)} = 1 definiert ist.

G. H. Published: 1924 Document Type: J

JFM 56.0414.02

Drach, J. Sur la transformation et l’integration des equations aux derivees partielles du second ordre a deux variables independantes par l’usage explicite des caracteristiques d’Ampere. (FR) Atti Congresso Bologna 3, 11-25 (1930).

Published: 1930 Document Type: CA

JFM 55.0882.01

Drach, J. Sur la transformation des equations aux derivees partielles du second ordre par l’usage explicite des variables caracteristiques d’Ampere. (FR) C. R. 188, 138-140 (1929).

Published: 1929 Document Type: J

JFM 54.0036.04

Poincaré, H. (Appell, P.; Drach, J.) Œvres de Henri Poincaré. Publiées sous les auspices de l’Académie des Sciences par P. Appell. T. I. Publié avec la collaboration de J. Drach. (FR) Paris: Gauthier-Villars. CXXIX, 382 p. (1928).

Published: 1928 Document Type: B

JFM 54.0463.01

Drach, J.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

Sur l’intégration logique des équations différentielles: applications aux équations de la géométrie et de la mécanique. (FR) Proceedings Congress Toronto 1, 473-510 (1928).

Published: 1928 Document Type: CA

JFM 53.0450.04

Drach, J. Integration by linear systems of equations of the type r + f(s, t) = 0. (EN) Bulletin A. M. S. 33, 412 (1927).

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JFM 53.0680.07

Drach, J. Determination of Liouville’s elements of lenght with algebraic integrals for the equation of geodesics. (EN) Bulletin A. M. S. 33, 12 (1927).

Published: 1927 Document Type: J

JFM 53.0694.02

Drach, J. Determination des elements lineaires de Liouville pour lesquels l’equation des lignes geodesiques admet au moins deux integrales rationnelles en la derivee premiere. (FR) C. R. 185, 1568-1570 (1927).

Published: 1927 Document Type: J

JFM 52.0474.02

Drach, J. Sur l’integration des equations r + f(s, t) = 0. (FR) C. R. 182, 1593-1595 (1926).

Published: 1926 Document Type: J Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}

JFM 52.0474.03

Drach, J. Sur l’integration des equations aux derivees partielles du second ordre et sur l’usage explicite des variables caracteristiques d’Ampere. (FR) C. R. 183, 109-111 (1926).

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Drach, J. Sur les surfaces enveloppes de sphères et la déformation des surfaces. (FR) C. R. du congrès des soc. savantes 1925, 40-78 (1925).

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JFM 51.0559.01

Drach, J. Sur deux classes remarquables de congruences W. (FR) Bulletin S. M. F. 53, 1-23 (1925).

Published: 1925 Document Type: J