Мэри, Том и Фидо
|
Перед вами сверхзадача, выполненная собакой. В самом начале Фидо находится рядом с хозяином на расстоянии 1 км от Мэри. |
|
|
Том и Мэри начинают сближаться со скоростью 2 км/ч каждый. Фидо, одинаково любящий хозяина и хозяйку, бегает от одного к другому и обратно со скоростью & км/ч. Добежав до хозяина и хозяйки, Фидо мгновенно поворачивается и пускается назад. |
|
|
Путь Фидо представлен на графике в координатах время -- расстояние. Куда будет обращена морда Фидо -- к хозяину или к хозяйке, когда Том и Мэри встретятся посредине разделявшего их километрового отрезка? |
|
|
На этот вопрос, так же как на вопрос о том, будет ли включена пли выключена по истечении бесконечной серии манипуляций с выключателем лампа Томсона, невозможно ответить. Но помочь Тому вычислить, какое расстояние пробежала собака, в наших силах.
Том. Сколько пробежал Фидо? Но чтобы ответить на этот вопрос, мне нужно просуммировать длину бесконечно многих звеньев ломаной! Это очень трудная задача, Мэри! |
|
|
Мэри. Совсем не трудная, милый! Мы идем со скоростью 2 км/ч. Значит, каждый из нас проходит полкилометра за 15 мин. Так как сначала нас разделяло расстояние 1 км, мы встречаемся через 15 мин. |
|
|
Мэри. Фидо бегает со скоростью 8 км/ч. За четверть часа он пробегает 2 км. Вот и все.
Том. Здорово! Мне даже не понадобился микрокалькулятор. |
|
|
Предположим теперь, что Том, Мэри и Фидо находятся там, где они встретились. Том и Мэри идут той же дорогой с той же скоростью, но в обратном направлении, а Фидо бегает от одного из них к другому со скоростью 8 км/ч. Где будет Фидо, когда расстояние между Томом и Мэри снова станет равным 1 км? |
|
|
Невероятно, но факт: Фидо не может находиться нигде между Томом и Мэри! Не верите? Убедитесь сами. Пусть вначале Фидо находится в любой точке километрового отрезка, разделяющего Тома и Мэри, которые начинают идти навстречу друг другу. Где бы ни находился Фидо, через 15 мин все трое сойдутся в центре отрезка. |
|
Первая задача (Том и Мэри идут навстречу друг другу, а Фидо бегает между ними туда и обратно) классическая. Она существует в различных вариантах. Иногда это задача о мухе, летающей туда и обратно между двумя сближающимися локомотивами, иногда -- задача о птичке, порхающей между двумя едущими во встречных направлениях велосипедистами.
Рассказывают, что когда эту задачу предложили американскому математику Джону фон Нейману, тот сразу назвал правильный ответ. "Поздравляю! -- сказал собеседник фон Неймана, сообщивший ему задачу. -- Большинство людей пытаются решить задачу очень трудным способом, суммируя бесконечный ряд отрезков". "Но именно это я и сделал", -- с удивлением ответил фон Нейман.
Итак, в какую сторону будет обращена морда Фидо в тот момент, когда Том и Мэри сойдутся посредине разделявшего их километрового отрезка? Задать такой вопрос все равно что спросить, будет ли включена или выключена лампа Томсона по окончании всех манипуляций с выключателем, или в какой из двух лунок, А или В, окажется в конце концов шарик. Это только кажется, будто Фидо должен быть обращен мордой либо к хозяину, либо к хозяйке. В действительности же любой ответ подразумевает, что существует последнее натуральное число (звеньев ломаной, по которой бежит собака), которое либо четно, либо нечетно.
Но если мы обратим процесс сближения Тома, Мэри и Фидо во времени, заставив Мэри и Тома расходиться из середины километрового отрезка, а Фидо по-прежнему бегать между хозяином и хозяйкой, то возникнет новый парадокс. Наша интуиция подсказывает нам, что если некую однозначно определенную процедуру обратить во времени, то есть изменить направление всех движений на противоположное, то мы должны вернуться к тому, с чего начали. Однако в рассматриваемом случае процедура при обращении времени утрачивает однозначную определенность. Если события развиваются от начала к концу, то Фидо оказывается в середине километрового отрезка, разделявшего Тома и Мэри. Но если события развиваются от конца к началу, то место, где будет находиться Фидо, когда Том и Мэри разойдутся на 1 км, невозможно указать однозначно: пес может находиться в любой точке отрезка.
Более подробный анализ этого парадокса проведен Весли Солмоном (Scientific American, декабрь 1971). И задача о двух хозяевах и их верной собаке, и парадоксы Зенона, и лампа Томсона могут служить описательным введением в теорию пределов и суммирования бесконечной геометрической прогрессии.
Ломаная, по которой бежит Фидо, похожа на траекторию прыгающего мячика. Вот несложная задача о таком мячике. Предположим, что круглый мяч брошен на пол с высоты 1 м. Высота, на которую подпрыгивает мяч, каждый раз вдвое меньше предыдущей. Если каждый подскок длился бы 1 с, то мяч прыгал бы вечно. Но как и в парадоксах с бегуном Зенона, машиной, перемещающей шарик из лунки в лунку, и Фидо, на прохождение каждого следующего отрезка траектории требуется меньше времени, чем на прохождение предыдущего. Очередной подскок занимает 1/2 от продолжительности предыдущего подскока. Последовательность времен сходится. Следовательно, по истечении конечного промежутка времени мяч остановится, хотя теоретически он подпрыгнет бесконечно много раз. Суммарная высота всех подскоков составит 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = 2 м.
Предположим, что мяч подпрыгивает каждый раз на высоту, составляющую 1/3 от предыдущей. Какова суммарная высота всех подскоков в этом случае?