Чудо-коса
|
Венди решила купить себе кожаный браслет. |
|
|
В магазине ей понравились два браслета. Каждый из них был сделан из трех ремешков: один сплетен из ремешков, другой -- гладкий.
Венди. Сколько стоит плетеный браслет?
Люк. Пять долларов, мадам, но, к сожалению, он уже продан. |
|
|
Венди. Какая жалость! А нет ли у вас еще одного такого браслета? |
|
|
Люк. Есть, вот он перед вами.
Венди. Да, но ведь этот браслет не плетеный, а гладкий.
Люк. С удовольствием заплету его для вас. |
|
|
Хотя в это трудно поверить, Люк сплел браслет за полминуты, не разрезав ни одного ремешка! Вот как он начал. |
|
Самое удивительное в плетеном браслете, который так понравился Венди, -- это то, что "косу" можно заплести даже в том случае, если концы "прядей" скреплены с двух сторон. Иначе говоря, плетеный браслет топологически эквивалентен гладкому. Последовательные этапы плетения браслета изображены ниже. Ремешки в таком браслете перекрещиваются 6 раз. Удлиняя их, можно заплетать косы с любым числом перекрещиваний, кратным 6. Если вы захотите сплести себе браслет или пояс, замочите предварительно кожу в теплой воде, чтобы она стала мягче.
Косы такого рода можно заплетать не только из трех, но и из большего числа прядей. Более подробно о таких косах рассказывается в статье А.Г. Шепперда "Косы, которые можно заплести из прядей, скрепленных с обоих концов" [Proceedings of the Royal Society, 1962, A265, pp. 229-244.]. См. также главу "Теория групп и косы" в моей книге "Математические головоломки и развлечения" [Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971, с. 125-132.].
Большинство людей видят в таком браслете лишь еще один топологический курьез. В действительности же речь идет о вещах несравненно более важных и интересных. Математик Эмиль Артин построил даже теорию кос, воспользовавшись для этого аппаратом теории групп.
Элементом группы является схема переплетения прядей, операция состоит в последовательном плетении двух схем, а элементом обратным данной схеме, -- зеркально-симметричная схема. Косы служат великолепным введением в теорию групп и преобразований. (Элементарное введение в теорию кос можно найти в статье Артина "Теория кос" [The Mathematical Teacher, may 1959.].)