Парадоксы, связанные со значениями истинности, называются семантическими, парадоксы, связанные с множествами каких-то объектов, -- теоретико-множественными. Оба типа парадоксов тесно связаны.
|
Парадоксы, связанные со значениями истинности, называются семантическими, парадоксы, связанные с множествами каких-то объектов, -- теоретико-множественными. Оба типа парадоксов тесно связаны. |
|
Соответствие между семантическими и теоретико-множественными парадоксами проистекает из того, что любое истинное или ложное утверждение можно представить в виде некоего утверждения о множествах и наоборот. Напрмер, утверждение "Все яблоки красные" означает, что множество всех яблок содержится в множестве всех красных предметов. На языке высказываний, oтнocитeльно которых можно утверждать, что они истинны или ложны, это переводится так: "Если верно, что x -- яблоко, то верно, что x красного цвета.
Рассмотрим утверждение парадокса лжеца "Это утверждение ложно". В переводе на теоретико-множественный язык оно звучит так: "Это утверждение есть элемент множества всех ложных утверждений".
Если "это" утверждение действительно принадлежит множеству всех ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, -- правда и, следовательно, оно не может принадлежать множеству всех ложных утверждений. Если же утверждение парадокса лжеца не принадлежит множеству ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, -- неправда и, следовательно, оно должно принадлежать множеству всех ложных утверждений. У каждого семантического парадокса существует теоретико-множественный аналог, а у каждого теоретико-множественного парадокса существует семантический аналог.