## Предисловие

                                 Дездемона. Старые, избитые парадоксы,
                                 годные для того, чтобы увеселять дурней в кабаках.

                                          В. Шекспир. Отелло, акт 2, сцена 1

Слегка изменив реплику Дездемоны ("Старые, избитые парадоксы, годные на то, чтобы увеселять нас в часы досуга"), мы получим неплохое описание этой книги. Слово "парадокс" имеет много значений. Я употребляю его здесь в широком смысле как синоним любого утверждения, которое настолько противоречит здравому смыслу и интуиции, что не может не вызывать у того, кто слышит о нем впервые, чувства удивления. Такого рода парадоксы подразделяются на четыре основных типа:
1) утверждения, которые кажутся ложными, но в действительности истинны;
2) утверждения, которые кажутся истинными, но в действительности ложны;
3) рассуждения, которые кажутся безупречными, но приводят к логическому противоречию (парадоксы этого типа обычно принято называть логическими ошибками);
4) утверждения, истинность или ложность которых недоказуемы.
В математике, как и в естественных науках, парадоксы не пустая забава. Иногда парадоксы приводят к весьма глубоким открытиям. Так, древнегреческие математики долго ломали голову над тем, почему длину диагонали единичного квадрата невозможно измерить точно линейкой со сколь угодно мелкими делениями. Этот парадокс, смущавший умы античных мыслителей, привел к расширению понятия числа и созданию теории иррациональных чисел. Математикам XIX в. казалось необычайно парадоксальным, что между всеми элементами бесконечного множества и элементами его бесконечного подмножества можно установить взаимно-однозначное соответствие. Этот парадокс привел к созданию современной теории множеств, в свою очередь оказавшей сильное влияние на философию науки. Парадоксы могут многому научить нас. Подобно хорошим фокусам, они настолько поражают наше воображение, что у нас возникает неопреодолимое желание узнать, в чем их секрет. Фокусники предпочитают не раскрывать своих трюков—математикам же таить нечего. С первой и до последней страницы этой книги я стремился по мере сил простым и доступным языком объяснить (по возможности кратко), чем парадоксален каждый из отобранных мной парадоксов. Тому, кто прочитав эту книгу, захочет узнать о них побольше и обратится к другим книгам и статьям, предоставится возможность не только основательно углубить свои познания в математике, но и получить при этом немалое удовольствие. Список использованной мной литературы приведен в конце книги. Звездочкой отмечены менее специальные работы.

Мартин Гарднер
Ноябрь 1981 г.

Оглавление книги