## Парадокс с выборами

Предположим, что три кандидата -- Абель, Берне и Кларк (A, B и C) -- выставили свои кандидатуры на президентских выборах. |
Как показали итоги выборов, 2/3 избирателей отдали предпочтение Абелю перед Бернсом и 2/3 избирателей отдали предпочтение Бернсу перед Кларком. Означает ли это, что большинство избирателей отдало предпочтение Абелю перед Кларком? |
Не обязательно. Если голоса избирателей разделились так, как показано на рисунке слева, то возникла парадоксальная ситуация. Предоставляем объяснить ее самим кандидатам. |
`М-р Абель`. Две трети избирателей предпочли меня Бернсу. |
`М-р Бернс`. Две трети избирателей предпочли меня Кларку. |
`М-р Кларк`. Две трети избирателей предпочли меня Абелю! |

Этот парадокс, известный еще в XVIII в., представляет собой пример нетранзитивных отношений, которые могут возникнуть при попарном выборе. Понятие транзитивности применимо к таким отношениям, как "выше, чем" ("x выше, чем y"), "больше, чем", "меньше, чем", "раньше, чем", "тяжелее, чем". Вообще, отношение R называется транзитивным, если из того, что истинны утверждения xRy и yRz, следует, что истинно утверждение xRz.

Парадокс с выбором кажется столь неожиданным потому, что мы ошибочно полагаем, будто отношение "быть предпочтительнее, чем" всегда транзитивно. Если кто-то отдает предпочтение A перед B (то есть для него A предпочтительнее, чем B), а B перед C, то естественно ожидать, что этот кто-то отдает предпочтение A перед C. Но как показывает парадокс, это верно далеко не во всех случаях. Большинства избирателей отдало предпочтение кандидату A перед кандидатом B, большинство избирателей отдало предпочтение кандидату B перед кандидатом C, и большинство избирателей отдало предпочтение кандидату C перед кандидатом A. Ситуация заведомо не транзитивная! Этот парадокс иногда называют парадоксом Эрроу в честь лауреата Нобелевской премии экономиста Эрроу, показавшего с помощью такого рода логических парадоксов принципиальную невозможность абсолютно демократической избирательной системы.

Парадокс может возникать также в любой ситуации, в которой требуется произвести выбор одной из трех альтернатив, попарно упорядоченных по трем свойствам. Предположим, что A, B и C -- три претендента на руку и сердце одной и той же невесты. Пусть строки некой матрицы 3x3 содержат оценки, даваемые невестой каким-нибудь трем качествам кандидатов в женихи, например их уму, внешности и обеспеченности. Сравнивая оценки попарно, невеста может оказаться в довольно затруднительном положении, если выяснится (а такое легко может слу читься), что кандидату A она отдает предпочтение перед B, B -- перед C и C -- перед A!

Последуем математику Полу Халмошу и будем считать, что А означает пирожки с абрикосовым вареньем, В -- с вишневым и С -- со сливовым*. Предположим, что в буфете в продаже всегда есть пирожки с вареньем только двух сортов. Матрица показывает, как посетитель оценивает пирожки по вкусу, свежести и размерам. По вполне разумным мотивам посетитель может предпочесть пирожки с абрикосовым вареньем пирожкам с вишневым вареньем, пирожки с вишневым вареньем -- пирожкам со сливовым вареньем и пирожки со сливовым вареньем -- пирожкам с абрикосовым вареньем.

Более подробно парадоксы с нетранзитивными отношениями рассмотрены в моей статье (Scientific American, октябрь 1974), а также в статье "Выбор избирательной системы" Рихарда Ниемы и Уильяма Райкера (там же, июнь 1976) и Линн Стин об избирательных системах (там же, октябрь 1980).

Оглавление книги | Содержание части | Следущая глава