## Демографический взрыв

| Кому из нас не приходилось слышать о том, как быстро увеличивается численность населения земного шара?
| Президент Лиги борцов против контроля за рождаемостью мистер Нинни не согласен с общим мнением. Он считает, что численность населения земного шара убывает и что вскоре у каждого будет больше пространства, чем нужно. Рассуждает мистер Нинни следующим образом.
| `М-р Нинни`. У каждого из нас двое родителей. Но у каждого из родителей также по двое родителей, поэтому у нас по две бабушки и по два дедушки, по четыре прабабушки и по четыре прадедушки. С каждым поколением в глубь истории число предкой у. каждого из нас удваивается.
| `М-р Нинни`. Если вы вернетесь вспять на 20 поколений в эпоху средневековья, то насчитаете 1048576 предков! И столько же предков у каждого из ныне живущих людей. Следовательно, численность населения земного шара была в миллион раз больше, чем теперь! Мистер Нинни, несомненно, заблуждается. Но где ошибка в его рассуждениях?

Рассуждения Нинни правильны, если принять следующие два предположения:

1) на генеалогическом дереве каждого ныне живущего человека ни один предок не появляется более одного раза;

2) ни один человек в прошлом и настоящем не фигурирует более чем на одном генеалогическом дереве.

Ни одно из этих предположений не выполняется во всех, без исключения, случаях. Если у некой супружеской четы пятеро детей и у каждого из детей по пять детей, то наша супружеская чета будет прародителями (бабушкой и дедушкой) на 25 генеалогических деревьях, Кроме того, на любом дереве, если вернуться назад на достаточно большое число поколений, ветви будут пересекаться из-за браков между дальними родственниками.

В своих рассуждениях Нинни (и в этом состоит его ошибка) не учитывает ни того, что одни и те же люди могут фигурировать в различных генеалогических деревьях, ни того, что множества предков каждого из ныне живущих людей имеют массивное пересечение. "В демографическом взрыве", о котором толкует Нинни, миллионы людей сосчитаны миллионы раз!

Многие с удивлением узнают, как быстро возрастают члены последовательности, у которой каждый следующий член вдвое больше" предыдущего. Если один человек вздумает уплатить другому в первый день 1 доллар, во второй -- 2 доллара, в третий -- 4 доллара и т. д., то, как ни трудно в это поверить, на двадцатый день размер выплаты составит более миллиона долларов!

Можно ли быстро сосчитать сумму первых двадцати членов последовательности, в которой каждый следующий член вдвое больше предыдущего? Оказывается можно: для этого достаточно удвоить последний (двадцатый) член и вычесть из полученного результата единицу. В нашем случае 20-й член равен 1048576, а сумма первых 20 членов равна

(2*1048576) - 1 = 2097151.

Этот трюк применим к любой частичной сумме последовательностей, каждый член которой (начиная со второго) вдвое больше предыдущего. Существует весьма простое доказательство того, что это правило работает без "осечек". Предоставляем нашим читателям самостоятельно найти это доказательство.

Оглавление книги | Содержание части | Следущая глава