## Ревнивые девушки

У одного парня были две знакомые девушки, и он никак не мог выбрать, с кем из них отправиться на свидание. Одна из девушек жила к востоку от того места, где жил он сам, другая -- к западу. Ежедневно парень в случайное время спускался на станцию метро и садился в первый попавшийся поезд. |
Поезда в восточном и западном направлениях шли с интервалом в 10 мин. |
Девушка, жившая к востоку от того места, где обитал наш сердцеед, сказала ему как-то раз на прощание. `Исти`. Я так счастлива, милый, что ты навещаешь меня в среднем 9 дней из 10. |
На следующий вечер девушка, жившая к западу от дома нашего героя, сердито упрекнула его. `Вести`. Почему ты являешься ко мне в среднем только раз в десять дней? |
Необъяснимое на первый взгляд предпочтение парня к поездам восточного направления напоминает парадокс с лифтами. Хотя поезда восточного и западного направлений идут с интервалами в 10 мин, расписание составлено так, что поезд западного направления прибывает и отправляется на 1 мин позже, чем ближайший поезд восточного направления. |
Чтобы попасть на поезд, идущий на запад, парень должен оказаться на станции в течение одного из минутных интервалов, отмеченных на циферблате темными полосами. Чтобы попасть на поезд, идущий на восток, он должен прибыть на станцию в течение любого из девятиминутных интервалов, заключенных между темными полосами Вероятность поехать на запад составляет 1/10, вероятность отправиться на восток составляет 9/10. |

В этом парадоксе время ожидания между поездами задано расписанием. В последовательности случайных событий "среднее время ожидания" между событиями мы получим, просуммировав времена ожидания и разделив полученную сумму на п. Например, среднее время ожидания для поезда, идущего на восток, в нашем рассказе составляет 4 1/2 мин, а среднее время ожидания для поезда, идущего на запад, -- всего 1/2 мин.

С временами ожидания связаны и многие другие парадоксы. Возможно, вам понравится следующий. Если вы бросаете монету, то среднее время ожидания "орла" (или "решки") равно 2 бросаниям. Это означает, что, взяв перечень исходов длинной серии бросаний монеты и подсчитав времена ожидания, отделяющие выпадение одного "орла" от выпадения следующего "орла", вы получите среднее "расстояние" между "орлами", равное 2 бросаниям (если серия начинается не с "орла", то длина серии "решек" до выпадения первого "орла" в расчет не принимается).

Предположим, что на длинном листе бумаги сверху вниз выписаны исходы длинной серии бросаний монеты. Выберите наугад зазор между двумя последовательными бросаниями (например, зажмурьте глаза и проведите по листу горизонтальную черту). Найдите ближайший к проведенной черте "орел" сверху и снизу и подсчитайте число испытаний, отделяющих один "орел" от другого. Повторите эту операцию многократно. Чему будет равно среднее расстояние между "орлами"?

Интуитивно кажется, что "орлы" должны быть в среднем разделены двумя бросаниями. В действительности в среднем их разделяют три бросания. Причина та же, по которой любвеобильный парень обычно садился в поезд, идущий на восток. Одни серии испытаний между последовательными "орлами" короткие, другие -- длинные. Случайно проведенная линия аналогична случайному выбору момента прибытия парня на станцию. Попасть в более длинную серию вероятнее, чем в более короткую.

Приведем теперь простое доказательство того, что три испытания -- действительно правильный ответ на вопрос задачи. Монеты "не помнят" исходов предыдущих бросаний, поэтому, где бы вы ни провели черту, среднее время ожидания до выпадения следующего "орла" должно быть равно 2 бросаниям. То же соображение применимо и к среднему времени ожидания, если мы "обратим" всю серию испытаний и будем считать времена ожидания не вперед, а назад. Следовательно, "средняя длина свободного пробега" между "орлами" равна 2x2, то есть 4, если мы будем считать и те бросания, при которых выпали сами "орлы". А так как мы условились понимать под временем ожидания длину серии испытаний, включающую выпадение следующего "орла", но не включающую выпадение предыдущего "орла", то средняя длина свободного пробега равна 4-1=3 бросаниям.

Еще более поразительна аналогичная задача с колесом рулетки. В колесе имеются 38 гнезд с номерами, среди которых есть 0 и 00. Следовательно, среднее время ожидания для любого числа, например для 7, равно 38 запускам колеса. Но если вы возьмете запись длинной серии номеров, выпавших при игре в рулетку, и, проводя наугад черту, начнете подсчитывать среднюю "длину свободного пробега" между двумя последовательными семерками, то она окажется равной не 38, а (2*38)-1=75.

Оглавление книги | Содержание части | Следущая глава