# Числа

## Парадоксы о целых числах, дробях и бесконечной лестнице

Парадоксы с числами оказали сильное влияние на историю математики. Противореча нашей интуиции, они не раз приводили в изумление и ставили в тупик математиков. Классическими примерами таких парадоксов могут служить открытия:

1) иррациональных чисел sqrt(2), pi, e и бесчисленного множества других;

2) мнимых чисел (числа sqrt(-1) и кратных ему) и комплексных чисел, часть которых составляют мнимые числа;

3) чисел (например, кватернионов), для которых нарушается коммутативный закон умножения: a*b != b*a;

4) чисел (например, чисел Кэли), для которых нарушается ассоциативный закон умножения: a*(b*c) != (a*b)*c;

5) трансфинитных, или бесконечных, чисел (например, "алефы", введенные Георгом Кантором, который, по словам Давида Гильберта, "открыл перед математиками новый рай").

Собранные в этой главе парадоксы относятся главным образом к рациональным числам. Исключение составляют только три последних парадокса, в которых речь идет об иррациональных и трансфинитных числах. По замыслу автора они должны не только позабавить, но и заинтересовать вас настолько, чтобы вы на свой страх и риск попытались самостоятельно разобраться в тех важных разделах теории чисел, которые в них затрагиваются. Так, "Вездесущая девятка" подводит нас к конечным арифметикам, а "Необычное завещание" -- к диофантову анализу. Многие арифметические парадоксы послужат отправными точками для перехода к обобщенным алгебраическим решениям, которые отточат вашу алгебраическую технику. В самом конце главы перед нами откроется пленительный вид на канторовский рай -- область математики, продолжающую бурно развиваться и в наше время.

Оглавление книги | Содержание части | Следущая глава