Оглавление   От редакторов серии Ergebnisse der Mathematik 5   Предисловие 7   Часть первая. Эйзенштейн (822 Кб) 9 Глава I.  Введение 11 Глава II.  Тригонометрические функции 15 Глава III.  Основные эллиптические функции 23 Глава IV.  Основные соотношения и бесконечные произведения 32 Глава V.  Первая вариация 45 Глава VI.  Вторая вариация 54   Часть вторая. Кронекер (813 Кб) 61 Глава VII.  Прелюдия к Кронекеру 63 Глава  VIII.  Двойной ряд Кронекера 84 Глава IX.  Финал: Allegro con brio (уравнение Пелля и формула Чоула–Сельберга) 104   Список обозначений   111

Мои сотрудники по редакционной коллегии серии Ergebnisse der Mathematik и я рады представить книгу Андре Вейля «Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру». Некоторых читателей, возможно, удивит публикация в этой серии сочинения, на первый взгляд посвященного истории математики и потому столь нетипичного для серии. Ознакомившись с рукописью, редакторы, однако, пришли к твердому убеждению в том, что она, внося весьма существенный вклад в историю нашей науки, в то же время представляет очень большую ценность для современных исследований. Поэтому мы без колебаний решили просить профессора Вейля согласиться на публикацию его рукописи в нашей серии и рады были получить его согласие.

«Когда строят короли, работу получают возчики», — сказал немецкий поэт ¹⁾. Кронекер процитировал его в своем письме Кантору в сентябре 1891 г., добавив, что каждый математик одновременно и король и возчик. Несомненно, он думал о себе.

Но возчикам нужны дороги. В истории нашей науки нередко случалось так, что король открывал новый путь в землю обетованную, а его наследники, предпочитая свои тропинки, оставляли этот путь зарастать чертополохом.

Цель этой небольшой книжки — помочь расчистить одну из королевских дорог. Она возникла на основе лекций, читанных в Институте высших исследований осенью 1974 г. Я признателен Мелвину Натансону, предоставившему в мое распоряжение свои записи этих лекций. Куда приведет наша дорога, увидит будущее, но уже немало примет, что впереди плодородные земли.

Поскольку многое изложенное в этой книге заслуживает включения в элементарные курсы, нелишне указать, что она почти замкнута в себе. Даже основы теории тригонометрических функций изложены в начале гл. II ab initio методом Эйзенштейна. Было бы логично и удобно ввести так же гамма-функцию в гл.  III, но для краткости это введение было опущено, и предполагается, что читатель знаком с элементарными свойствами Γ(s). В части II требуется также знакомство с теоремой Дирихле о рядах Фурье и ее частным случаем — методом суммирования Пуассона. Для наших приложений (главным образом, функциональное уравнение для тэта-функции) нужно знать несколько классических интегралов. Распределения Шварца появляются лишь в §10 гл. VII и §16–18 гл. VIII. Эти разделы слабо связаны с остальной частью книги и могут быть опущены без ущерба для понимания, хотя и не без потерь. В гл. VIII нельзя обойтись без функции Бесселя K_ν, введенной с помощью определенного интеграла. Разумеется, я выбрал для нее стандартное обозначение, но не пользовался никакими свойствами этой функции или, скорее, интеграла, кроме самых очевидных. В последней главе речь идет о теории чисел, и потому, конечно, предполагается некоторое знакомство с ней.

В 1891 г. Кронекер дал согласие выступить с лекцией на первом собрании только что основанного Немецкого математического общества. Лекция не состоялась из-за смерти его жены, но в письме Кантору, президенту Общества, Кронекер выразил надежду, что он сможет предоставить ее письменный текст, содержание которого было описано в следующих выражениях:

«Der Vortrag... sollte kurzweg den Titel haben «Über Eisenstein» ... Dabei müßten dann außer den rein arithmetischen und analytisch-arithmetischen noch ganz besonders seine rein analytischen Untersuchungen über elliptische Funktionen hervorgehoben werden, welche dem Bewußtsein der Jetztzeit ganz abhanden gekommen sind...» (Kronecker, Werke, т. V, стр. 499) ²⁾.

Вскоре Кронекер умер, так и не написав свою лекцию. Однако он уже довольно подробно обсудил работы Эйзенштейна в своей последней большой статье об эллиптических функциях, опубликованной Берлинской Академией в 1891 г., указав, что Эйзенштейн предвосхитил некоторые из самых известных новшеств Вейерштрасса и пошел значительно дальше. Вот что пишет Кронекер:

«Существенно новые точки зрения ... в особенности на теорию преобразований тэта-функций ... Эйзенштейн ввел в своей фундаментальной, но редко цитируемой статье «Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen», опубликованной в журнале Крелля в 1847 г. и содержащей совершенно оригинальные идеи...»

Если Кронекер выражается с таким энтузиазмом, довольно очевидно, что он сам только что открыл для себя эту статью. Далее он указывает на ее связи со своими текущими исследованиями, связи, которых он до того явно не замечал (Kronecker, Werke, В.V, S.149). Обе цитаты относятся к статье Эйзенштейна «Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelprodukte, aus welchen die elliptischen Funktionen als Quotienten zusammengesetzt sind, und der mil ihnen zusammenhängenden Doppelreihen». Это — часть VI его труда «Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen»; она была опубликована в Crelles Journal, 35 (1847), 153–274, а затем перепечатана в эйзенштейновском томе Mathematische Abhandlungen в 1847 г. с предисловием Гаусса.

Кронекер имел все основания назвать эту статью «редко цитируемой». Сомнительно, чтобы во всей математической литературе XIX века нашлась хотя бы одна ссылка на нее, кроме ссылки самого Кронекера и подстрочного примечания в диссертации Гурвица (Hurwitz, Werke, В.I, S.31). В XX веке, возможно, ее цитировали еще два-три раза. Идеи Эйзенштейна действительно были «прочно забыты».

Не только вкус к истории побуждает нас попытаться оживить их здесь. Не говоря уже о том, что они являются превосходным введением ко многим работам Гекке, мы надеемся показать, что их можно с успехом применить к решению некоторых современных проблем, особенно в сочетании с поздними работами Кронекера, естественно их продолжающими. Возможно, эти идеи окажутся полезными и за пределами теории эллиптических функций и модулярной группы, в частности в арифметике рядов Эйзенштейна для групп Гильберта ³⁾, но здесь я не буду касаться этой темы.

Любой читатель Эйзенштейна должен сознавать, как остро он ощущал нехватку времени в течение всей своей непродолжительной жизни в науке. Еще в юности он жалуется на нервные приступы, заставляющие его часто прерывать работу. Позже он заболел туберкулезом, от которого и умер в 1852 г. в возрасте 29 лет. Его статьи, блистательно задуманные, писались урывками; детали прорабатывались от случая к случаю; иногда связный ход мысли прерывается, чтобы возобновиться на более поздней стадии. Время от времени Крелль позволял ему послать в печать часть статьи до ее завершения. Читателю часто приходит на ум трагическая фраза Галуа: «Je n'ai pas le temps» ⁴⁾.

Поэтому было бы нелепо идти след в след за Эйзенштейном. Рассказывая его работы, я свободно перекраивал его материал (как сделал бы он сам по более зрелом размышлении) и пользовался его собственными указаниями, как улучшить изложение, когда это не означало насилия над его образом мысли.

Здесь уместно одно общее замечание по вопросам сходимости. Во времена Эйзенштейна понятие абсолютной сходимости (в отличие от «условной») было еще сравнительно новым. По словам Эйзенштейна, сам он узнал об абсолютной сходимости из статьи Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии и аккуратно пользовался ею всюду, где это необходимо. Например, начало его статьи, обсуждаемой здесь, посвящено доказательству сходимости ряда

при σ>ν/2, a также более общих рядов такого типа. В наши дни все это общеизвестно и не нуждается в повторении. С другой стороны, равномерная сходимость не была известна Эйзенштейну. Он неявно и без доказательства принимает, что вводимые им ряды аналитических функций можно дифференцировать почленно; возможно, по этой причине Вейерштрасс игнорировал его работу. На самом деле этот пробел легко восполнить. Если бы потребовать этого от Эйзенштейна, он мог бы рассуждать так. Рассмотрим в качестве типичного примера ряд ∑(x+μ)^–n, появляющийся в его теории тригонометрических функций (гл. II). Отбросив конечное число членов, мы должны рассмотреть абсолютно сходящиеся ряды

+∞  +∞   fn(x) =   ∑   (x + μ)–n +   ∑   (x – μ)–n     (n ≥ 2), μ=M μ=M

+∞   f1(x) =   ∑  ( 1 x + μ  +  1 x – μ )  , μ=M

где M>1 — целое число. Пусть f (x) — любой из этих рядов, φ_μ(x) — его μ-й член. Разложим φ_μ(x+y) по биномиальной формуле в степенной ряд по y:

	+∞
φμ(x+y) =	∑	φμ, m (x) ym.
	m=0

Тривиальная оценка показывает, что двойной ряд

абсолютно сходится при |x|≤M–1, |y|<1. Следовательно, мы можем написать

	+∞
f (x + y) =	∑	(	∑	φμ, m (x)	)	ym
	m=0		μ

Но коэффициент при y^m, с точностью до очевидного постоянного множителя, совпадает с рядом, который получается из f (x) m-кратным почленным дифференцированием. Это оправдывает допущения Эйзенштейна. В дальнейшем все подобные проблемы мы обходим молчанием.

[· · ·]

§1. Кронекер родился в 1823 г., как и Эйзенштейн; оба учились в Берлине в одни и те же годы. В 1847 г. Кронекеру пришлось покинуть Берлин ради деловых интересов семьи; к тому времени, когда он вернулся в столицу и поселился в ней постоянно, Эйзенштейн уже умер.

Первые признаки пробуждающегося интереса Кронекера к эллиптическим функциям относятся к 1853 г. (Werke, т. IV, стр. 11). Здесь Кронекер ограничивается замечанием, что его теорема об абелевых расширениях поля Q обобщается на гауссово поле Q(i) с помощью лемнискатических эллиптических функций. Нет сомнения, что Кронекер тогда изучал кроме Абеля работу Эйзенштейна о точках деления лемнискаты. Однако эта работа (и даже большая статья Эйзенштейна 1850 г.) основывалась на формулах и обозначениях Абеля и не была прямо связана с идеями работы Genaue Untersuchung 1847 г., которые мы описали в гл. I–IV.

В 1856 г. Кронекер распространяет свои исследования уже на общий случай эллиптических функций с комплексным умножением (Werke, т. IV, стр. 179, и т. V, стр. 419). Он работает полностью в обозначениях Якоби, которым остался верен навсегда.

В 1863 г. (Werke, т. IV, стр. 222) Кронекер, под влиянием работ Дирихле, вводит новые функции

и их пределы при ρ=0. В обозначениях предыдущих глав эти функции можно записать в виде

где χ — характер аддитивной группы W. Именно в этой статье Кронекер впервые формулирует частный случай своей «предельной формулы» и выводит из него решение уравнения Пелля (т.е. вычисляет некоторую единицу вещественного квадратичного поля) с помощью эллиптических функций.

§2. Спустя двадцать лет, после нескольких обрывочных публикаций на эти темы, Кронекер решил, наконец, изложить свои результаты систематически в серии статей, которые должна была опубликовать Берлинская Академия. Эти статьи, под общим заголовком «Zur Theorie der elliptischen Funktionen», выходили в 1883, 1885, 1886, 1889 и 1890 годах. В 1891 г., последнем перед смертью Кронекера, заголовок был изменен (без видимых причин) на «Die Legendre'sche Relation». В этих статьях Кронекер в основном занимается различными рядами. В наших обозначениях все они могут быть записаны в виде

где a≥0 — целое число. Кронекер изучает их поведение при x=0 и вблизи точки s=1+a/2 (где они перестают сходиться).

Ум Кронекера был, однако, слишком живым и беспокойным, чтобы позволить ему сосредоточиться на систематическом изложении одной темы. В юношеские годы Куммер и Дирихле уже предостерегали его от связанных с этим опасностей. Его студенты привыкли к постоянным отступлениям, когда Кронекер начинал рассказывать о том, что пришло ему на ум вчера вечером. В академической серии он часто перескакивает с одной темы на другую или возвращается к более ранним результатам и доказательствам, чтобы улучшить их. Его статья 1886 г. (Werke, т. IV, стр. 389–470), по видимости входящая в основную серию, не имеет к ней никакого отношения и посвящена чисто алгебраическим и теоретико-числовым исследованиям формул умножения и деления эллиптических функций. Именно в ней он доказывает свои знаменитые сравнения, сыгравшие фундаментальную роль в арифметической теории комплексного умножения.

Эйзенштейн явно гордился совершенно элементарным характером своих теоретико-функциональных методов. Напротив, Кронекер пользовался целым арсеналом мощных технических средств: «суммированием Пуассона» (в действительности открытым Коши), теорией вычетов Коши, теорией рядов Фурье по Дирихле и, что важнее всего, формулой Дирихле (по существу, совпадающей с нашим преобразованием Меллина)

∞ Γ(s)  ∑  a  As   =  ∫ (∑  ae–At ) ts–1 dt, 0

(3)

которую (следуя Дирихле) он предпочитал записывать в виде

1

Γ(1+ρ)

∑

a  A1+ρ

=

∫

(∑

azA

)(

ln

1  z

)

ρ

d(ln z).

0

Современный аналитик мог бы добавить к этому немногое: понятие аналитического продолжения (которое Кронекер знал, но предпочитал им не пользоваться) и более свободное использование рядов Фурье, ставшее возможным благодаря теории распределений.

Очевидно, ряды Кронекера представляют собой естественное обобщение рядов Эйзенштейна. Вводя непрерывный параметр ρ (или, в обозначениях Римана и современных, s), он следовал Дирихле. Можно отыскать прецеденты и для появления характера χ. Работая со своими рядами вне их области сходимости, Кронекер также часто пользуется «суммированием по Эйзенштейну». Однако до 1891 г. он ни разу не упоминает статьи Эйзенштейна 1847 г. Только в конце, работая над своей последней статьей для Берлинской Академии, он осознал, насколько близок был к идеям его товарища юношеских лет. Нам остается лишь гадать, какие чувства сопровождали это открытие. Успей он написать свою лекцию об Эйзенштейне, обещанную Кантору (см. выше, гл. I), мы, вероятно, знали бы больше.

§3. Как до него Эйзенштейн (см. гл. II), Кронекер обнаружил, что для изучения двойного ряда типа (2) следует сначала разобраться в соответствующих простых рядах. Более того, оба случая требуют аналогичной техники. В конечном счете Кронекер посвятил таким простым рядам значительные части двух статей (Werke, т. V, стр. 267–294 и 327–342). Его результаты здесь были во многом предвосхищены Липшицем, что он сам отмечает (ibid., стр. 330). Имеются очевидные связи между такими рядами, L-функциями Дирихле и дзета-функцией Римана (или, скорее, Эйлера). Поэтому не удивительно, что целый ряд авторов занимался этой темой в XIX веке: Липшиц еще в 1857 г., Гурвиц в 1882, Лерх несколько позже, под влиянием работ Кронекера. В конце этой главы собрана краткая библиография.

Положение историка осложняется еще тем обстоятельством, что суммирование этих рядов по Пуассону (для комплексных значений аргумента) приводит к функциям Бесселя, теория которых уже во времена Кронекера была значительно развита. Тем не менее даже в наши дни некоторые из авторов, работавших в этой области, либо не замечали, либо не отмечали появление бесселевых функций и довольствовались прямой проверкой нескольких нужных им элементарных свойств.

Мы не будем пытаться здесь распутать все ходы мысли. В этой главе мы займемся простыми рядами в качестве подготовки к описанию работ Кронекера о двойных рядах (2).

§4. Символом χ в этой главе будет обозначаться некоторый характер группы Z. Обычно мы будем записывать его в виде

где yÎR. Часто будет удобно считать, что 0≤y<1. Рассмотрим ряд

где a≥0 — целое число, y вещественное, x и s комплексные, a Σ^* означает суммирование по всем целым μ ≠ –x (т.е. по всем целым, если x не целое). Этот ряд абсолютно сходится тогда и только тогда, когда Re(s) > (a+1)/2. Кронекер (а до него Липшиц) заметил, что при χ≠1 и Re(s) > a/2 ряд всё ещё сходится, хотя и не абсолютно. Действительно, записав общий член (4) в виде  f (μ)·χ(μ) и положив

	n
σn =	∑	χ(μ),
	μ=0

получаем с помощью формулы Абеля «суммирования по частям»:

Поскольку χ≠1, величина |σ_n| ограничена при всех n>0. С другой стороны, для больших n величины n^2s–a f (n) и n^2s–a f (n+1) можно разложить в степенные ряды по n^–1, оба начинающиеся с 1. Поэтому величина

ограничена, и при N→+∞ последняя сумма справа в (5) превращается в абсолютно сходящийся ряд, если Re(s) > a/2. Поскольку то же рассуждение применимо к членам (4), отвечающим μ<0, это доказывает сходимость.

Особенно интересен ряд

+∞  ∑  ' e–2πiμy x + μ  = 2πi  е2πixy  е2πix – 1       (0 < y < 1). –∞

(6)

Это тождество имеет место для всех xÎC\Z. Кронекер замечает, что оно непосредственно выводится из теоремы Дирихле о разложении периодической функции в ряд Фурье, если применить эту теорему к функции с периодом единица, равной  е^2πixy  при  0<y<1  и  ½[1 + е^2πix]  при y=0.

Вычтем x^–1 из обеих частей (6) и положим x=0. Получим

+∞  ∑  ' e–2πiμy μ  = πi(2y – 1)      (0 < y < 1). –∞

(7)

Эту формулу также можно было установить с помощью теоремы Дирихле. Более общо, разложив обе части (6) в степенные ряды в окрестности x=0, мы получим в качестве коэффициентов многочлены Бернулли от y (с точностью до нормировки). Частный случай этого результата был получен в гл. II, §7, где мы обнаружили, что коэффициенты разложения ε₁(x) вблизи x=0 являются числами Бернулли. Например, сравнивая коэффициенты при x в обеих частях тождества (6), находим

+∞  ∑  ' e–2πiμy  μ2   = 2π2 (  y2 – y +  1  6  )      (0 ≤ y ≤ 1). –∞

(8)

Здесь ряд абсолютно сходится, так что формула остаётся верной при y=0 и y=1 по непрерывности.

Кроме описанных случаев абсолютной и обыкновенной сходимости имеются значения параметров, когда ряд можно суммировать по Эйзенштейну (гл. II, §1). Например, если x вещественно, χ=1 и a = 2s = 1, имеем

при условии, что x не целое число. Как обычно, [x] означает целое n, такое, что n<x<n+1.

§5. Хотя Кронекер экспериментировал с различными способами суммирования рядов (2) и (4) (включая метод Эйзенштейна), ему, видимо, больше всего нравился подход, подсказанный работами Дирихле, который связан с введением комплексного параметра s. Обозначим через S(s) любой из наших рядов. Он абсолютно сходится при Re(s) > a/2 + 1 в случае (2) и Re(s) > (a+1)/2 в случае (4). Пусть s₀ лежит на границе соответствующей полуплоскости. Тогда ряд S(s₀+ρ) абсолютно сходится для положительных вещественных ρ. Если его сумма имеет предел при ρ→0, он будет называться значением S(s₀) относительно суммирования «по Кронекеру». Кронекер рассматривал также варианты этого определения, в которых абсолютная сходимость заменена обычной или сходимостью «по Эйзенштейну».

Разумеется, суммирование по Кронекеру можно рассматривать как частный случай аналитического продолжения. Действительно, мы убедимся, что ряды (2) и (4) мероморфно продолжаются на всю s-плоскость. Это было показано (после решающего шага, сделанного Риманом в его статье 1859 г. о дзета-функции) современниками Кронекера — Липшицем, Гурвицем и Лерхом. На самом деле доказательство неявно содержалось в некоторых выкладках Кронекера (Werke, т. IV, стр. 486–487), однако он ни разу не упоминает аналитического продолжения. Возможно, всё охлаждающиеся отношения с Вейерштрассом отбили у него вкус к этому понятию. Разумеется, мы будем им пользоваться. Приписывание S(s) значений, которые принимает аналитическое продолжение этого ряда с полуплоскости его абсолютной сходимости, можно было бы по праву назвать «суммированием по Гекке», потому что Гекке широко пользовался этим методом.

§6. Поскольку мы ограничимся здесь лишь теми результатами о рядах (4), которые понадобятся в гл. VIII, будет удобно разобрать отдельно случаи вещественного и не вещественного x. Если x вещественно, ряд (4) можно переписать в виде

Поэтому достаточно разобрать случаи a=0 и a=1. В свою очередь эти ряды сводятся к «рядам Лерха»

∞  ∑   χ(n) (x + n)–s n=0

(9)

при x>0. Ясно, что L-ряды Дирихле представляются в виде конечных линейных комбинаций рядов Лерха с характерами χ конечного порядка и рациональными x≤1. Следует ещё иметь в виду, что «односторонний» ряд (9) примерно так же связан с гамма-функцией, как ряд Эйзенштейна ε_n(x) с произведением Эйлера для синуса (см. гл. II, §6). Поэтому теорию гамма-функции можно было бы развить на основе этой аналогии. Для краткости, однако, мы будем считать её известной.

[· · ·]