ОГЛАВЛЕНИЕ   Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие 7    Глава I.  (499 Кб + 513 Кб) Основные неравенства и родственные вопросы     9 § 1.  Введение 9 § 2.  Неравенство Коши 10 § 3.  Тождество Лагранжа 12 § 4.  Неравенство между арифметическим и геометрическим средними 12 § 5.  Индукция вверх и вниз 13 § 6.  Анализ и множители Лагранжа 15 § 7.  Функциональные уравнения 15 § 8.  Вогнутость 16 § 9.  Мажоризация — доказательство Бора 17 § 10.  Доказательство Гурвица 19 § 11.  Доказательство Элерса 20 § 12.  Арифметико-геометрическое среднее Гаусса. Элементарные симметрические функции 21 § 13.  Доказательство Якобсталя 23 § 14.  Одно фундаментальное соотношение 24 § 15.  Неравенство Юнга 27 § 16.  Средние Mt(x, α) и суммы St(x) 28 § 17.  Неравенства Гёльдера и Минковского 33 § 18.  Обобщения классических неравенств 35 § 19.  Квазилинеаризация 39 § 20.  Неравенство Минковского 41 § 21.  Другое неравенство Минковского 42 § 22.  Неравенство Минковского для 0 < p < 1 43 § 23.  Неравенство Беккенбаха 44 § 24.  Неравенство Дрешера 45 § 25.  Неравенство Минковского–Малера 46 § 26.  Квазилинеаризация выпуклых и вогнутых функций 47 § 27.  Другой тип квазилинеаризации 48 § 28.  Неравенство Карамата 48 § 29.  Преобразование Шура 49 § 30.  Доказательство неравенства Карамата 49 § 31.  Неравенство Островского 50 § 32.  Континуальные аналоги 51 § 33.  Симметрические функции 52 § 34.  Еще одно неравенство 55 § 35.  Некоторые результаты Уайтли 55 § 36.  Гиперболические многочлены 56 § 37.  Неравенство Гординга 57 § 38.  Примеры гиперболических многочленов 58 § 39.  Пространства Лоренца 59 § 40.  Обратные неравенства 60 § 41.  Пространство Lp 63 § 42.  Многомерный случаи 65 § 43.  Обобщения Фавара–Бервальда 65 § 44.  Другие обращения теоремы Коши 68 § 45.  Уточнения неравенств Коши–Буняковского–Шварца 69 § 46.  Теорема Мора и Нолля 70 § 47.  Вывод новых неравенств из старых 71 § 48.  Уточнение неравенства между арифметическим и геометрическим средними 72 § 49.  Неравенства с чередующимися знаками 72 § 50.  Неравенство Стеффенсена 73 § 51.  Неравенство Брунка–Олкина 74   § 52.  Обобщения неравенства Стеффенсена 74 Библиография и дополнения   75    Глава II.  (813 Кб) Положительно определенные матрицы, характеристические числа и положительные матрицы    84 § 1.  Введение 84 § 2.  Положительно определенные матрицы 86 § 3.  Необходимое условие положительной определенности 87 § 4.  Представление в виде суммы квадратов 88 § 5.  Необходимое и достаточное условие положительной определенности 89 § 6.  Определители Грама 90 § 7.  Вычисление одного несобственного интеграла 93 § 8.  Комплексные матрицы с положительно определенной вещественной частью 94 § 9.  Одна теорема о вогнутости 94 § 10.  Неравенство, относящееся к минорам 95 § 11.  Неравенство Адамара 96 § 12.  Неравенство Сасса 97 § 13.  Теорема о представлении определителя эрмитовой матрицы 97 § 14.  Следствия 98 § 15.  Интегралы Ингама – Зигеля и их обобщения 98 § 16.  Групповая инвариантность и формулы представ ления 100 § 17.  Неравенство Бергстрома 100 § 18.  Одно обобщение 101 § 19.  Каноническая форма 102 § 20.  Обобщение неравенства Бергстрома 103 § 21.  Теорема представления для |A|1/n 104 § 22.  Одно неравенство Минковского 105 § 23.  Обобщение, принадлежащее Фань Цзы 105 § 24.  Обобщение, принадлежащее Оппенгейму 106 § 25.  Отношение Рэлея 106 § 26.  Минимакс-теорема Фишера 107 § 27.  Еще одна теорема представления 109 § 28.  Одно неравенство Фань Цзы 110 § 29.  Аддитивный аналог 111 § 30.  Результаты, относящиеся к характеристическим числам A, AA* и ½(A+A*) 111 § 31.  Теорема разделения Коши–Пуанкаре 112 § 32.  Одно неравенство для λnλn–1...λk 112 § 33.  Обсуждение 113 § 34.  Аддитивное неравенство 113 § 35.  Мультипликативное неравенство, вытекающее из аддитивного 114 § 36.  Дальнейшие результаты 115 § 37.  Составные или присоединенные матрицы 116 § 38.  Положительные матрицы 117 § 39.  Вариационная характеристика p(A) 118 § 40.  Другая форма для p(A) 121 § 41.  Некоторые следствия 121 § 42.  Входные-выходные (input-output) матрицы 122 § 43.  Обсуждение 123 § 44.  Добавления 123 § 45.  Матрицы и гиперболические уравнения 124 § 46.  Определители, не обращающиеся в нуль, и распределение характеристических чисел 124 § 47.  Монотонные матричные функции в смысле Лёвнера 125 § 48.  Преобразование, уменьшающее число перемен знака 126   § 49.  Области положительности 126 Библиография и дополнения  127    Глава III.  (617 Кб) Пространства моментов и резонансные теоремы   141 § 1.  Введение 141 § 2.  Моменты 146 § 3.  Выпуклость 147 § 4.  Примеры выпуклых пространств 149 § 5.  Примеры невыпуклых пространств 150 § 6.  К определению выпуклых множеств 150 § 7.  Пространство Lp. Результат Ф. Рисса 151 § 8.  Ограниченная вариация 153 § 9.  Положительность 155 § 10.  Представление через квадраты 156 § 11.  Неотрицательные тригонометрические и рациональные полиномы 158 § 12.  Положительно определенные квадратичные формы и моментные последовательности 158 § 13.  Исторические замечания 159 § 14.  Положительно определенные последовательности 160 § 15.  Положительно определенные функции 161 § 16.  Воспроизводящие ядра 162 § 17.  Невыпуклые пространства 163 § 18.  «Резонансные» теоремы Ландау 165 § 19.  Теорема Банаха – Штейнгауза 166 § 20.  Теорема Минковского 167 § 21.  Теория линейных неравенств 168 § 22.  Обобщения 169 § 23.  Теорема фон Неймана о минимаксе 169 § 24.  Лемма Неймана–Пирсона 170 § 25.  Ортогональные проекции 173   § 26.  Эквивалентность процессов минимизации и максимизации 174 Библиография и дополнения  175    Глава IV.  (610 Кб) Положительные операторы   184 § 1.  Введение 184 § 2.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 187 § 3.  Обсуждение 188 § 4.  Фундаментальный результат теории устойчивости 188 § 5.  Неравенства Бихари и Лангенхопа 189 § 6.  Матричные аналогии 191 § 7.  Доказательства Тауски 192 § 8.  Переменные матрицы 193 § 9.  Обсуждение 194 § 10.  Результат Чаплыгина 194 § 11.  Конечные интервалы 196 § 12.  Вариационное доказательство 196 § 13.  Обсуждение 198 § 14.  Линейные дифференциальные уравнения произ вольного порядка 199 § 15.  Положительность линейных дифференциальных операторов высших порядков 200 § 16.  Некоторые результаты Пойа 201 § 17.  Обобщенная выпуклость 202 § 18.  Обсуждение 203 § 19.  Обобщенная теорема о среднем Гартмана и Винтнера 204 § 20.  Обобщенное разложение Тейлора 205 § 21.  Положительность операторов 206 § 22.  Эллиптические уравнения 206 § 23.  Положительные воспроизводящие ядра 207 § 24.  Монотонность средних значений 207 § 25.  Положительность параболических операторов 209 § 26.  Конечно-разностные схемы 211 § 27.  Уравнение потенциала 213 § 28.  Обсуждение 213 § 29.  Неравенства Хаара–Вестфаля–Проди 214 § 30.  Некоторые неравенства Вендроффа 214 § 31.  Результаты Вейнбергера–Бохнера 216 § 32.  Преобразования, понижающие число перемен знака 216 § 33.  Квазилинеаризация 216 § 34.  Устойчивость операторов 217   § 35.  Различные результаты 218 Библиография и дополнения  219    Глава V.  (618 Кб) Неравенства для дифференциальных операторов   228 § 1.  Введение 228 § 2.  Некоторые неравенства Секефальви-Надя 231 § 3.  Неравенства, связывающие u, u', u" 232 § 4.  Неравенство для u, u(k) и u(n) 236 § 5.  Другие неравенства для u, u' и u" 236 § 6.  Неравенство Гальперина и фон Неймана и его обобщения 238 § 7.  Аналоги результатов Секефальви-Надя 241 § 8.  Неравенство Карлсона 242 § 9.  Обобщения неравенства Карлсона 242 § 10.  Неравенство Виртингера и связанные с ним результаты 245 § 11.  Доказательство с помощью рядов Фурье 246 § 12.  Теория Штурма–Лиувилля 246 § 13.  Интегральные тождества 247 § 14.  Результаты Колаутти 249 § 15.  Дифференциальные уравнения в частных производных 249 § 16.  Использование матриц 250 § 17.  Высшие производные и высшие степени 251 § 18.  Дискретные аналоги Фаня, Тауски и Тодда 252 § 19.  Дискретный случай. Вторые разности 253 § 20.  Дискретный вариант неравенства Норткотта–Беллмана 254   § 21.  Обсуждение 255 Библиография и дополнения  256   Именной указатель 261 Предметный указатель  267

Более тридцати лет назад, когда Харди, Литлвуд и Пойа писали свою известную монографию о неравенствах, систематическое изложение оказалось возможным только благодаря очень тщательному отбору материала. Уже тогда обилие результатов, непосредственно относящихся к тематике монографии, было таким, что многие интересные и перспективные неравенства не нашли в ней места. В качестве эпиграфа к своей книге авторы избрали строфу Р. Браунинга (Saul. st. 39)

ярко характеризующую те трудности отбора, с которыми им пришлось столкнуться.

За истекшие тридцать лет объём исследований по неравенствам возрос во много раз и неравенства завоевали много новых областей, в которых они играют главенствующую роль. Тем более трудной была задача отбора и расположения материала, вставшая перед авторами. Они решили эту задачу, разбив, во-первых, книгу на два тома (второй том ещё не вышел), и используя, во-вторых, возможность не доказывать многие из приводимых результатов, которая предоставлена тем, что книга вышла в известной серии (Neue Folge, № 30), состоящей в основном из обзоров отдельных областей математики. Классификация неравенств в настоящей книге производится не по методам доказательств (один из принципов классификации Харди, Литлвуда и Пойа), а в основном по общности тематики и приложений.

Следует ещё отметить, что написана книга <широкими мазками>, изложение во многих местах не затрагивает более тонких исследований, связанных с трудными и интересными вопросами. Так, авторы далеко не всегда приводят наилучшие неравенства (с точными константами), ограничиваясь лишь фактом существования неравенства и не устанавливая точных оценок. Это нельзя, однако, поставить авторам в вину, так как детальная разработка отдельных типов неравенств, какой бы интерес она ни представляла для специалистов, действительно невозможна в рамках такого издания, которое всё же имеет ознакомительно-справочный характер.

Книга Беккенбаха и Беллмана не является поэтому монографией, по которой можно изучать неравенства (как их можно изучать по книге Харди, Литлвуда и Пойа). Но она содержит такое богатство фактов (в большинстве новых и новейших), притом умело систематизированных, и столь обширную библиографию, что она без сомнения окажется очень полезной для широкого круга читателей. По ней можно навести справку, возможно ли неравенство определённого типа, нужное как аппарат для того или иного исследования, она может дать и много стимулов для интересных исследований в области самих неравенств.

Со времени выхода в свет классического труда Харди, Литлвуда и Пойа в 1934 г. математики приложили колоссальные усилия к уточнению и обобщению классических неравенств, открытию новых типов неравенств и приложениям неравенств во многих разделах анализа. В качестве примеров приведём теорию дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, в которых доминирующую роль играют неравенства и вариационные принципы, относящиеся к функциям и их производным, многие приложения линейных неравенств в теории игр и математической экономике, возродившие интерес к вопросам выпуклости и пространствам моментов, а также всё новые и новые применения цифровых машин, которые требуют систематического изучения оценок погрешностей, опирающегося на сложные разделы теории матриц и операторов.

Результаты, изложенные в настоящей книге, до некоторой степени отражают все эти разветвления теории неравенств в пограничные области анализа, но нашей основной задачей было изучение неравенств как таковых. Поскольку ясно, что невозможно дать связный отчёт о том взрыве аналитической активности, свидетелями которого мы являлись на протяжении последних 25 лет, нам пришлось ограничиться теми вопросами, которые нас особенно интересовали, и в изучение которых нам удалось внести некоторый вклад.

Мы приводим достаточное число литературных ссылок как для того, чтобы заинтересованный читатель мог проследить историю вопроса, так и для того, чтобы он мог ознакомиться с более сложными аспектами излагаемых результатов. Однако мы не стремились ни к энциклопедичности в подборе тем, ни к полноте библиографических указаний по каждой из избранных тем.

Как и большинство авторов, мы эксплуатировали наших друзей. Мы выражаем нашу сердечную благодарность Фань Цзы за многократное чтение рукописи и за подробнейшим образом разработанные предложения по тексту. За многие ценные замечания и за чтение отдельных глав мы выражаем нашу благодарность Р. П. Боасу, П. Лаксу, Л. Ниренбергу, И. Олкину и О. Тауски.

Мы надеемся, что чтение этой книги доставит столько же удовольствия другим, сколько получили мы, когда её писали.